Kapitel 1

Mathematische Grundlagen (Winkelsumme, Satz von Thales, Satz vom Pythagoras)

Im ersten Kaptiel werden die mathematischen Grundlagen abgehandelt, die für die nachfolgenden Kapitel von besonderer Wichtigkeit sind.

Ein unverzichtbares Hilfsmittel ist die Winkelsumme.

Die Winkelsumme S_w gibt für alle Mehrecke die Summe aller Winkel an, die sich im entsprechenden n-Eck befinden. Die allgemeine Winkelsummen-Formel für Vielecke lautet:   (n-2)*180°  Wobei n die Zahl der Ecken angibt und n>2 ist.

Bei Dreiecken ist diese Summe 180°

bei Vierecken 360°

Bsp:

Für obiges Dreieck gilt so:   a + b + g = 180°.

Da die späteren Standard-Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens nur in rechtwinkligen Dreiecken von Bedeutung sind,

ist der Satz von Thales  hilfreich beim Konstruieren eines solchen Dreiecks. Er kann auch helfen eine komplexe geometrische

Figur, die Kreise oder Halbkreise enthält, zu vereinfachen wenn trigonometrische Berechnungen durchgeführt werden müssen.

	Definition: Liegt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB, so ist der Winkel ACB ein rechter Winkel (Satz von Thales) Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf einem Halbkreis über AB (Umkehrung)
Abb. 1.1 zeigt die grafische Deutung des Satz von Thales.

Hinweis: Bsp.:

Ein Winkel wird formell durch die Seiten beschrieben, die ihn einschließen. Der Winkel ABC ist der Winkel bei B, der von den Seiten a und c bzw. den Ecken C und A eingeschlossen wird.

Mit dem Satz von Thales ist es möglich auf einfachste Art ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. Main zeichnet einen Halbkreis auf dessen Grundseite die Hypotenuse des späteren Dreiecks liegt. Anschliesend kann der Punkt C beliebig auf dem Halbkreis gewählt werden; man erhält immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Eine spezielle Eingenschaft rechtwinkliger Dreiecke gibt der Satz des Pythagoras wieder.

	Definition: Sind a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und c seine Hypotenuse, so gilt: a2 + b2 = c2 (Satz von Pythagoras) Sind a,b und c die Seiten eines Dreiecks und gilt a2 + b2 = c2, so ist der Winkel zwischen a und b ein rechter Winkel (Umkehrung)
Abb. 1.2 zeigt die grafische Deutung des Satzes von Pythagoras.

Hinweis:

Hypotenuse und Kathete sind im rechtwinkligen Dreieck wie folgt definiert:

Der Satz des Pythagoras dient hauptsächlich zum Berechnen fehlender Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken. Durch umstellen der Formel a² + b² = c² nach a,b oder c, kann die gesuchte Seite berechnet werden wenn die anderen zwei Seiten gegeben sind.

Bsp:

Für die Seite b gilt dann:    b = Ö( c2 - a2) .

Dies sind die nötigsten Hilfsmittel, mit denen in der Trigonometrie gearbeitet wird. Mit Ihnen lassen sich komplexere geometrische Figuren unterteilen bzw. vereinfachen, so dass die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus oder Tangens angewandt oder besser eingesetzt werden können.



Im nächsten Kapitel folgen die erforderlichen Rechengrundlagen wie Einheitskreis oder Winkel-/Bogenmaß.