 Abb. 3.1 Sinus-Funktion am Einheitskreis |
 Abb. 3.2 Sinus-Funktion (negativer Funktionswert) |
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Nach der Einführung nun zu den eigentlichen Winkelfunktionen. Im ersten Teil werden die Funktionen Sinus und Cosinus beschrieben, da sie sich sehr ähnlich sind. Die Tangens-Funktion folgt später.
Im Voraus sei nochmals darauf hingewiesen, dass mit sämtlichen Winkelfunktionen nur in rechtwinkligen Dreiecken
gerechnet werden kann.
Für die Veranschaulichung der Funktion eignet sich der Enheitskreis, der in
Kaptiel 2 vorgestellt wurde am besten:
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Abb. 3.1 Sinus-Funktion am Einheitskreis |
Abb. 3.2 Sinus-Funktion (negativer Funktionswert) |
Die Sinus-Funktion entspricht dem fett gezeichneten Balken. Man erkennt, dass aufgrund des Einheitskreises
der Funktionswert (= das Ergebnis der Funktion sin (x) ) des Sinus nie größer als '1' werden kann (Abb. 3.1)
und im Negativen den maximalen Wert '-1' annimmt (Abb. 3.2). In der ersten Hälfte des Kreises
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Hinweis: |
Der Winkel a wird immer von der positiven x-Achse aus gemessen. |
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Wir wollen jedoch den Sinus hauptsächlich in Dreiecken, speziell rechtwinkligen Dreiecken, anwenden, da er dort wertvolle Dienste leistet. Wie wir oben gesehen haben, bewegen sich die Werte des Sinus immer zwischen -1 und +1. Betrachten wir das rechtwinklige Dreieck aus Kaptiel 2, dann ergibt sich, dass nur eine der beiden Katheten geteilt durch die Hypothenuse eine Zahl ergeben kann, die kleiner als +1 ist. Denn nur eine kleine Zahl durch eine Größere ergibt eine Zahl kleiner +1.
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Definition: |
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Diese Definition wird Winkelfunktion im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Wendet man also die Sinus-Funktion auf
den Winkel a an (d.h. man berechnet den Sinus von
a), dann erhällt man als Ergebnis eine Zahl kleiner +1 und größer als -1. Es lässt sich vermuten, dass sie auf irgend eine
Art mit dem Winkel a zusammenhängt.
Das ist noch nicht besonders vielsagend. Erst wenn wir die obige Definition umformen, ergibt sich eine verwendbare Formel:
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Definition: |
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sin -1 bedeutet die Umkehrfunktion des Sinus (sie wandelt den Zahlenwert kleiner +1 wieder in einen Winel um). |
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Man sieht, mit dieser Funktion ist es möglich, mit Hilfe zweier gegebener Seiten (eine Kathete und die Hypotenuse) des
Dreiecks den Winkel zu berechnen, der der entsprechenden Kathete gegenüber liegt. Die Umkehrfunktion des
Sinus, wie auch die Sinus-Funktion ist auf fast jedem Taschenrechner zu finden.
Wir haben also jetzt mit dem Sinus die Möglichkeit 1 gefunden, aus zwei gegebenen Seiten einen Winkel
im rechtwinkligen Dreieck berechnen zu können.
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Definition: |
Möglichkeit 1 wird auch als |
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Die Cosinus-Funktion ist der Sinus-Funktion sehr ähnlich. Dies wird an den nachfolgenden Bildern veranschaulicht:
 Abb. 3.3 Cosinus-Funktion am Einheitskreis |
 Abb. 3.4 Cosinus-Funktion (negativer Funktionswert) |
Der Wert der Cosinus-Funktion entspricht dem fett gezeichneten Balken (vgl. Sinus-Fkt. oben).
Der Funktionswert ist in der rechten Hälfte des Kreises
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Beachte: |
Dies ist der einzigste aber gravierendste Unterschied zum Sinus!! |
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Wie die Sinus-Funktion liefert der Cosinus nur Werte zwischen -1 und +1. Am rechtwinkligen Dreieck aus Kaptiel 2 bedeutet dies, dass jetzt die andere Kathete durch die Hypotenuse geteilt wird, um die Cosinus-Funktion zu erhalten.
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Definition: |
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Dies ist die Definition des Cosinus im rechtwinkligen Dreieck.Umgeformt, ergibt sich die Formel:
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Definition: |
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Die Umkehrfunktion des Cosinus wandelt ebenfalls den Zahlenwert kleiner +1 wieder in einen Winel um.
Auch mit dieser Funktion ist es möglich, mit Hilfe einer Kathete (der Ankathete) und der Hypotenuse eines rechtwinkligen
Dreiecks den Winkel zu berechnen, der der Kathete gegenüber liegt.
Der Cosinus ist also Möglichkeit 2, um aus zwei gegebenen Seiten einen Winkel zu berechnen.
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Definition: |
Möglichkeit 2 wird auch als |
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Dies sind zwei der drei bekannten Winkelfunktionen. Im nächsten Kapitel folgt als Drittes die Tangens-Funktion.
